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球の体積の求め方とその証明

中学1年で習う球の体積の求め方。ただ公式だけを丸暗記していませんか?
中学の教科書に載っている球の体積の求め方を解説し、公式を証明します。

球の体積

球の半径をr、体積をVとすると、以下の公式が成り立つ。



中学で扱われている教科書には同じ半径の半球と円柱を用いて直感的な説明がしてありますが、ここではあえて数学的に証明してみます。

半径rの球の体積Vを求めるものとします。

球体 まずは球をy軸と平行に無限に薄く切り刻み、切り刻んでできた無限に薄い円柱の半径をRとします。

円柱 ピタゴラスの定理から、

ピタゴラス曰く
よって、
式変形

となるので、無限に薄い円柱(≒円)の面積は、

S

よって、








よって球の体積Vは

であることが証明されました。